连分数

连分数

连分数是一种记号。例如,长为 的连分数:

只是为了形式上简洁,才记成等号左边的样子。这里的四个变元可以任意取值。

连分数各变元的下标从 开始。

渐进分数

连分数中,从前面一直到第 个变元构成的连分数,是它的 渐进分数,记作

渐进分数分子和分母具有完全相同的递推关系:

这里和 Farey 数列的递推关系很像。

形式上记初项:

只是形式上成立。第 项渐进分数是 1/0,没有实际意义。

证明

可以注意到, 对于 都是线性函数。这是因为, 都只出现了一次,无论如何通分也不会有另一个 乘上去。于是通过待定系数,即可解得这个递推关系。

反序定理

如果

如果

证明

对递推关系稍加改造,有:

又利用初值,即可证明反序定理。

渐进分数的差分

计算相邻两项渐进分数的差,需要通分。通分后的分子代入递推关系:

代入初值就有渐进分数的差分:

可以观察到,式 特别像一个行列式,完全可以按“行列式”理解。

渐进分数的递推关系很像行列式的列变换。行列式一列加到另一列上不改变它的值,两列交换则反号。

根据递推式,如果连分数各项均为整数,则渐进分数分子分母总是互素。

对于有理数的简单连分数展开,常用渐进分数差分的等式,求解一次线性不定方程(参见 扩展欧几里得算法):

因为 a 与 b 互素, 就是最简的有理数,也就是它本身的最后一个渐进分数。那么,它的前一个渐进分数就是所求的解。

无限连分数

如果分式无限地写下去,有无限个变元,就得到无限连分数。无限连分数收敛等价于渐进分数收敛。

有定理:

无限连分数,如果各变元均大于等于 ,那么一定收敛。

因为只要各变元为正,无限连分数的偶渐进分数单调递增(都比它小),奇渐进分数单调递减(都比它大)。而在均大于等于 时,相邻(奇偶间)两个渐进分数之间距离可以给出估计式,趋于 ,因此收敛。

显然可以看到,连分数关于下标为偶数的变元单调递增,关于下标为奇数的变元单调递减。这无论它有限或无限都成立。

简单连分数

对于有限连分数,全体结尾为 的有限连分数和全体结尾不为 的有限连分数一一对应,即同一个连分数有两种表示:

简单连分数:连分数从第 项开始全都是正整数。如果有限,要求最后一项不为 。(第 项可以任意)

简单连分数的值,一定大于偶数的渐进分数,一定小于奇数的渐进分数。无限简单连分数一定收敛。

仿照一般分数的概念,第 项是 的连分数称为“真分数”。显然如果这之后的所有变元都大于等于 ,那么得到的真分数一定落在 之间。

连分数算法

如果要求 区间内某个数的简单连分数表示(第 项为 ),只需:

  • 取倒数,得到的数大于
  • 取整,得到的小数部分在 之间。
  • 对余数 重复上述操作。

这样就得到了相应的表示。

如果规定第 项是该数的取整,那么全体实数都有“唯一的简单连分数表示”。其中:

如果两个无限简单连分数的值相等,必然逐项相等。

如果两个有限简单连分数的值相等,不仅要逐项相等,而且必然项数也相同。

无限简单连分数不能与有限简单连分数值相等。有理数与有限简单连分数具有一一对应关系,因此无限简单连分数全都是无理数。

余项(余数)和部分商

从第 k 个变元开始,一直到最后一个变元构成的连分数,记作 ,称为 余项(余数)。相应地,取整得到的 称为部分商。

余项 就是上述连分数算法中第 步取倒数之后得到的数。

对于各项均为正数的连分数,所有的余项也都是正数。

误差估计

实数 x 也可以写成:

最后一项渐近分数就是 x 本身。于是根据渐进分数的递推式,就有:

于是可以估计渐进分数的误差:

分别对 k 取奇数偶数就得到,x 总小于其奇数阶渐近分数,大于其偶数阶渐近分数。

倒数定理

由于实数与简单连分数一一对应,我们称实数的简单连分数的渐进分数,就是实数的渐进分数。于是就有倒数定理:

对于大于 1 的实数 x,x 的渐进分数的倒数恰好是 的渐进分数。显然,该定理也应该对于 0 到 1 之间的实数 x 成立。

证明

于是根据新的初值与递推就能发现倒数关系成立。

二次有理数

二次有理数:整系数一元二次方程的解。

用词说明

在初等数论书上,“二次有理数”写为“二次无理数”。这是因为,二次有理数不是有理数,而是无理数。在近世代数书上,写为“二次有理数”或者“二次代数数”,表明它与有理数拥有相似的性质。

同样地,还有“二次整数”。二次整数不是整数,在 Pell 方程 会提到。“二次有理数”一词与“二次整数”相对应,与有理数和整数的关系完全一致,有理数是整数的比值。

二次有理数有以下的表示法,一定可以写成:

其中, 为有理数, 为整数。任意这种形式的数都是二次有理数,两者为一一对应。

为它的共轭。

称范数为二次有理数与它的共轭的乘积,即:

于是,除以一个二次有理数,等于除以它的范数,再乘上它的共轭。

二次域

具有同样 的二次有理数的全体,构成一个集合,记作

容易证明,集合 对于加、减、乘、除封闭,即任意取出两个元素,都可以进行四种运算(保证除数非 0),并且结果也在集合中。因此,它是一个域,称为 的二次域。

在有理数域上线性无关,所以在同一个二次域中,二次有理数的表示法具有唯一性。如果有:

那么有:

共轭定理:在同一个二次域中,如果一个等式仅经过有限次合法四则运算构成,那么对等式两边所有数同时取共轭,等式仍然成立。

证明:取共轭后的新的等式左右两边,结果一定仍然在该二次域中。只需证明它们对应的有理系数和无理系数相等。

无论如何,系数都与根号 d 的整体无关,取共轭只是将根号 d 换成了负根号 d,从头到尾只用到“平方等于 d”一个性质,因此,对应系数相等。

拓展

二次域 中的四则运算与一类特殊形式的二阶方阵同构:

比如,乘法的行为模式完全一致:

因此二次有理数的一些性质可以由二阶方阵来解释。比如,范数恰好就是它的行列式:

求倒数也就与伴随方阵求逆法一致。伴随方阵恰好就是它的共轭:

这种二阶方阵的记法参考了二维坐标系的旋转矩阵:

二维坐标系的旋转矩阵的行为模式就像 的特殊数域一样。

在下文中,主要研究实二次域。以下的二次有理数,特指实二次有理数,即 应当为正。

循环连分数

仿照循环小数的概念,如果在连分数后面形成了循环,则形成 循环连分数

循环连分数的最小正周期一般用字母 来表示,循环的部分称为循环节。容易发现,进入循环的充要条件是余项 的重复出现。

拉格朗日连分数定理

关于循环连分数有一个特别重要的基础定理:

拉格朗日连分数定理:实二次有理数与循环连分数一一对应。

该定理最早由拉格朗日(Lagrange)于 1769 年证明。

根据余项的重复出现,证明循环连分数一定是二次有理数非常容易。重点在于证明二次有理数一定是循环连分数。

证明

对二次有理数执行“无限简单连分数”计算,即取倒数、取整交替,得到的余数还是二次有理数。

接下来要强行刻画余项,将余项束缚在有限的范围,有限范围里的无限余项必然会发生重复。

是如下形式的二次有理数:

如果分母不整除分子的范数,那么分子分母同时乘以分母的绝对值,并强行压入根号,在新二次有理数中,分母整除新的分子的范数。因此,任何二次有理数都能写成这形式。

根据上文的简单连分数算法:对余数取整可以得到 ,进而得到新的

取整后得到的新的 为负数,且绝对值一定比 小,因此范数为负。取倒数,得到新的分母 总是正的。

由于范数为负,取倒数之后 前面的符号不变,而 的符号由负变正(负数前面加负号变为正数)。

余数 里面,每个 都为负数,且绝对值一定比 小,因此分子 的个数有限。

每个 都整除对应 构成二次整数的范数,因此分母 的个数有限。余数有限必重复,至此证完。

纯循环连分数

如果循环节从第 0 项开始,称为 纯循环连分数,否则称为 混循环连分数。例如纯循环连分数:

混循环连分数:

混循环连分数后面循环的部分,一般要找最早循环的部分,称为它的“纯循环部分”。

纯循环连分数的整数部分 直接进入到了循环里面,因此要求 必须至少是 1。因此,纯循环连分数大于 1。

伽罗瓦连分数定理

纯循环连分数有类似于反序定理的定理。记:

则两个 x 互为“倒数负共轭”。即,若记:

则 x 与 y 共轭。

该定理最早由伽罗瓦(Galois)在他 17 岁那年(1828 年)发现并证明。

证明

不妨改取比较长(例如至少有 5 项)的循环节。将循环节部分反序,根据反序定理,渐进分数有:

由于渐进分数的分子分母总是互素,只能分子分母对应相等。

根据纯循环,循环节的余项与它本身相等,有:

之后只需将上述反序定理代入验证即证完。

根据伽罗瓦连分数定理,纯循环连分数的共轭一定落在 之间。考虑它的逆问题,就有下面的定理:

如果二次有理数 大于 ,它的共轭落在 之间,则它是纯循环连分数。

证明

对二次无理数进行连分数算法,它的余项 容易得到。

根据共轭落在 之间,利用归纳法可以知道,余项的共轭总是落在 之间,因此部分商 的“倒数负共轭”的取整。这给了一种“倒推”的关系。

由拉格朗日连分数定理,x 一定是循环连分数,存在余项 r 相同,于是它们的前一个部分商 a 相同,前一个余项是小数部分的倒数,也相同。最后推得第 0 项在循环节中,该二次有理数纯循环。

根号 d 的连分数

对于非平方整数 d,有:

这是根号 d 的连分数形式。不仅最后一位是整数部分的两倍,而且中间部分还是对称的。

证明

对于非平方整数 d,二次有理数

是纯循环连分数。于是就有:

而上述纯循环连分数的倒数负共轭既可以用伽罗瓦连分数定理表达,也可以由它本身直接表达:

根据简单连分数展开的唯一性就证明了该结论。

同样也可以证明,整数部分为半整数的相同结构:

一个实例

为例,实际运算一下连分数算法:

各个余项分别是:

根据伽罗瓦连分数定理,对称的余项 循环部分恰好相反,因此互为倒数负共轭。

如果循环节 是奇数,则对称部分最中间的余项与自己互为倒数负共轭。但如果循环节 是偶数,就不会出现这种现象。

在后面的 Pell 方程一节中将指出,在根号 的连分数中,循环节 的奇偶性,将直接决定 Pell 方程中的 形式是否有解。


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